Question

已知两定点F₁(-，0)、F₂(，0)，满足条件||-||=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点.

(1)求k的取值范围；

(2)如果|AB|=6，且曲线E上存在点C，使+=m,求m的值和△ABC的面积S.

Answer 1

解：（1）由双曲线的定义可知，曲线E是以F₁（-，0）、F₂（，0）为焦点的双曲线的左支，且c=2,a=1,易知b=1.

故曲线E的方程为x²-y²=1(x＜0).

设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂),由题意建立方程组

消去y,得(1-k²)x²+2kx-2=0.

又已知直线与双曲线左支交于A、B两点，有

解得-＜k＜-1.

(2) 因为|AB|=|x₁-x₂|

2

依题意得=63.

整理后得28k⁴-55k²+25=0.

∴k²=或k²=.

但-＜k＜-1,∴k=-.

故直线AB的方程为x+y+1=0.

设C（x_c,y_c），由已知+=m,得（x₁,y₁）+(x₂,y₂)=(mx_C,my_C),

∴(x_C,y_C)=(m≠0).

又x₁+x₂==-4,y₁+y₂=k(x₁+x₂)-2=-2==8,

∴点C().

将点C的坐标代入曲线E的方程，得=1.

得m=±4.但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意.

∴m=4,C点坐标为（-，2）.

C到AB的距离为

∴△ABC的面积S=