Question

如图所示，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M(0，r)(b＞r＞0)． (1) 写出椭圆的方程，并求椭圆的焦点坐标及离心率 (2) 直线y＝k1x交椭圆于两点C(x1，y1)、D(x2，y2)(y2＞0)，直线y＝k2x交椭圆于两点G(x3，y3)、H(x4，y4)(y4＞0)，求证：＝ (3) 对于(2)中的C、D、G、H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q，求证：｜OP｜＝｜OQ｜．(证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形)

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解析：椭圆方程为＋＝1．焦点坐标为F1(－，r)，F2(，r)，离心率e＝．
(2)	将直线CD的方程y＝k1x代入椭圆方程，得b2x2＋a2(k1x－r)2＝a2b2，整理得(b2＋a2)x2－2k1a2rx＋(a2r2－a2b2)＝0． 　　根据韦达定理，得x1＋x2＝，x1x2＝， 　　所以＝．　　　　　　　　　　① 　　将直线GH的方程y＝k2x代入椭圆方程，同理可得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　② 　　由①、②得＝＝．
(3)	如图所示，设点P(p，0)，点Q(p，0)， 　　由D、P、H共线，得＝，解得p＝． 　　由D、Q、G共线，同理可得q＝． 　　由＝变形得－＝， 　　即－＝， 　　所以｜p｜＝｜q｜，即｜OP｜＝｜OQ｜．