Question

（2013•潮州二模）已知各项都不为零的数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=

1

2

anan+1(n∈N*)，a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜

7

4

．

Answer 1

分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）即可得到a_n+1-a_n-1=2．分n为奇数和偶数讨论即可得到a_n；
（2）利用（1）通过放缩，利用“裂项求和”即可证明．

解答：（1）解：∵Sn=

1

2

anan+1，①
∴Sn-1=

1

2

an-1an(n≥2)，②
①-②得an=Sn-Sn-1=

1

2

(an+1-an-1)an
∵a_n≠0，∴a_n+1-a_n-1=2．
数列{a_n}的奇数项组成首项为a₁=1，公差为2的等差数列；偶数项组成首项为a₂，公差为2的等差数列．
∵a₁=1，∴a2=

S1

1 2 a1

=2，
∴a_2n-1=1+（n-1）×2=2n-1，a_2n=2+（n-1）×2=2n．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n．（n∈N*）；
（2）证明：当n≥3时，

1

an2

=

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

(n-1)

-

1

n

，则

1 a12 + 1 a22 + 1 a32 +…+ 1 an2 = 1 12 + 1 22 + 1 32 +…+ 1 n2 ＜1+ 1 4 +( 1 2 - 1 3 )+( 1 3 - 1 4 )+…+ 1 (n-1) - 1 n = 7 4 - 1 n ＜ 7 4

当n=1时，

1

a12

=1＜

7

4

；  当n=2时，

1

a12

+

1

a22

=

5

4

＜

7

4

；
∴

1

a12

+

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜

7

4

．

点评：熟练掌握数列的通项与其前n项和公式之间的关系an=

S1，当n=1时 Sn-Sn-1，当n≥2时

、分类讨论思想方法、放缩法、裂项求和法是解题的关键．