Question

已知以a₁为首项的数列{a_n}满足：an+1=

an+d，an＜2 qan  ，an≥2

（1）当a₁=1，d=1，q=

1

2

时，求数列{a_n}的通项公式；
（2）当0＜a₁＜1，d=1，q=

1

2

时，试用a₁表示数列{a_n}前101项的和S₁₀₁．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=

an+d，an＜2 qan，an≥2

，a₁=1，d=1，q=

1

2

，分别求出a₂，a₃，a₄，总结规律，能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由0＜a₁＜1，d=1，q=

1

2

，知a₂=a₁+1，a₃=a₁+2，a4=

a1

2

+1，a5=

a1

2

+2，a6=

a1

22

+1，…，a2k=

a1

2k-1

+1，a2k+1=

a1

2k-1

+2，由此能用用a₁表示数列{a_n}前101项的和S₁₀₁．

解答：解：（1）∵a_n+1=

an+d，an＜2 qan，an≥2

，a₁=1，d=1，q=

1

2

，
∴a₂=1+1=2，
a3=

1

2

×2=1，
a₄=1+1=2，
…
∴a_n=

1，n=2k-1 2，n=2k

，k∈N^*．
（2）当0＜a₁＜1，d=1，q=

1

2

时，
a₂=a₁+1，a₃=a₁+2，a4=

a1

2

+1，a5=

a1

2

+2，a6=

a1

22

+1，…，
a2k=

a1

2k-1

+1，a2k+1=

a1

2k-1

+2，
所以S₁₀₁=a₁+（a₂+a₃）+（a₄+a₅）+…+（a₁₀₀+a₁₀₁）
=a1+(2a1+3)+(a1+3)+(

a1

2

+3)+…+(

a1

248

+3)
=a1+

2a1[1-( 1 2 )50]

1- 1 2

+50×3=a1[5-(

1

2

)48]+150．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的灵活运用．