Question

已知点A(

3

，-1)，B(cosθ，sinθ)，其中θ∈[0，π]，则|

AB

|的最大值为

 

．

Answer 1

分析：先用坐标表示出|

AB

|，由于其表达式是一个三角形式，利用三角恒等变换公式进行化简，再根据所给的角的取值范围以及正弦函数的单调性求最大值即可．

解答：解：由题意

AB

=(cosθ-

3?

，sinθ+1)
故|

AB

|²=(cosθ-

3?

)2+（sinθ+1）²=5-2

3

cosθ+2sinθ=5+4（

1

2

sinθ-

3?

2

cosθ）=5+4sin（θ-

π

3

）
由于θ∈[0，π]，故θ-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，sin（θ-

π

3

）∈[-

3?

2

，1]
故5+4sin（θ-

π

3

）≤9，即|

AB

|≤9，则|

AB

|的最大值为3
故答案为3

点评：本题考查求向量的模，平方法求模是常用的技巧，解本题的关键是对模的三角表达式进行化简，以及利用三角函数的单调性求最值，本题容易因为三角恒等变换公式记忆不准而出错，三角函数的恒等变换关键是熟练记忆公式．