Question

给定两个长度为1的平面向量

OA

和

OB

，它们的夹角为120°．
（1）求|

OA

+

OB

|；
（2）如图所示，点C在以O为圆心的圆弧

AB

上运动．若

OC

=x

OA

+y

OB

，其中x，y∈R，求x+y的最大值？
（3）若点E、点F在以O为圆心，1为半径的圆上，且

OE

=

FO

，问

BE

 与

AF

的夹角θ取何值时，

BE

•

AF

的值最大？并求出这个最大值．

Answer 1

分析：（1）直接利用向量的模的运算法则，求出|

OA

+

OB

|；
（2）建立坐标系如图，推出A，B，C的坐标，利用

OC

=x

OA

+y

OB

，求出x，y通过三角函数求出x+y的最大值．
（3）设出E，F，直接利用

BE

•

AF

计算，求出最大值，推出向量的夹角的大小即可．

解答：解：（1）|

OA

+

OB

|；

( OA + OB )2

=

OA 2+2 OA • OB + OB 2

=

1+2×1×1×(- 1 2 )+1

=1       （5分）
（2）如图所示，建立直角坐标系，则A（1，0），B(-

1

2

，

3

2

)，C（cosθ，sinθ）．

由

OC

=x

OA

+y

OB

，得cosθ=x-

y

2

，sinθ=

3 y

2

．
即x=cosθ+

3

3

sinθ   ， y=

2 3

3

sinθ．则x+y=

3

sinθ+cosθ=2sin(θ+

π

6

)
又θ∈[0，

2π

3

]，则θ+

π

6

∈[

π

6

，

5π

6

]，故当θ=

π

3

时，x+y的最大值是2．…（11分）
（3）点E、点F在以O为圆心，1为半径的圆上，且

OE

=

FO

设F（cosα，sinα），E（-cosα，-sinα），

BE

•

AF

=（-cosα+

1

2

，-sinα-

3

2

）（cosα-1，sinα）=

3

cos（α+

π

6

）-

3

2

，
所以

BE

•

AF

的最大值为为

3

-

3

2

．此时如图∠E=∠F=75°，∠EDF=30°，
即θ=

π

6

时，

BE

•

AF

的最大值为

3

-

3

2

．（16分）．

点评：本题是综合题，考查向量的基本运算，向量的数量积，三角函数的有关计算，考查计算能力，作图能力．