Question

【题目】已知是数列的前n项和，，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）对于正整数，已知成等差数列，求正整数的值；

（3）设数列前n项和是，且满足：对任意的正整数n，都有等式成立.求满足等式的所有正整数n.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）1和3.

【解析】

试题（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义判断，最后根据等比数列通项公式求结果，（2）根据等差数列化简得，再根据正整数限制条件以及指数性质确定不定方程正整数解，（3）先根据定义求数列通项公式，再根据等差数列求和公式求，根据数列相邻项关系确定递减，最后根据单调性求正整数解.

试题解析：（1）由 得，两式作差得，即 .

，，所以 ，，则 ，所以数列是首项为公比为的等比数列，所以 ；

（2）由题意，即，

所以，其中，，

所以，，

，所以，，；

（3）由 得，

，

，

，

所以 ，即，

所以 ，

又因为，得，所以 ，

从而 ，，

当时；当时；当时；

下面证明：对任意正整数都有，

，

当时， ，即，

所以当时，递减，所以对任意正整数都有；

综上可得，满足等式的正整数的值为和.