Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-x2-3x+

4

3

，直线l₁：9x+2y+c=0．若当x∈[-2，2]时，函数y=f（x）的图象恒在直线l的下方，则c的取值范围是______

Answer 1

∵当x∈[-2，2]时f(x)=

1

3

x3-x2-3x+

4

3

恒在直线9x+2y+c=0的下方
∴

1

3

x3-x2-3x+

4

3

＜-

9

2

x-

c

2

在x∈[-2，2]时恒成立，
即c＜ -

2

3

x3+2x2-3x-

8

3

在x∈[-2，2]时恒成立，
令g（x）=-

2

3

x3+2x2-3x-

8

3

，∴g'（x）=-2x²+4x-3
∵g'（x）=-2x²+4x-3＜0恒成立，∴函数g（x）单调递减
函数在x∈[-2，2]的最小值等于g（2）=-6
∴c＜-6即可满足条件．
故答案为：（-∞，-6）