Question

已知首项为的等比数列{a_n}是递减数列，其前n项和为S_n，且S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，数列{b_n}的前n项和T_n，求满足不等式≥的最大n值．

Answer 1

（I）a_n=a₁=()ⁿ；（Ⅱ）n的最大值为4．

试题分析：（I）{a_n}是一等比数列，且a₁=.设等比数列{a_n}的公比为q，由S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差数列，可得一个含公比q的方程，解这个方程便得公比q，从而得数列{a_n}通项公式.
（Ⅱ）由题设及（I）可得：b_n=a_nlog₂a_n=-n?()ⁿ，由等差数列与等比数列的积或商构成的新数列，求和时用错位相消法.用错位相消法可求得，变形得≥，解这个不等式得n≤4，从而得 n的最大值．
试题解析：（I）设等比数列{a_n}的公比为q，由题知  a₁=，
又∵ S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差数列，
∴ 2(S₂+a₂)=S₁+a₁+S₃+a₃，
变形得S₂-S₁+2a₂=a₁+S₃-S₂+a₃，即得3a₂=a₁+2a₃，
∴ q=+q²，解得q=1或q=，                   4分
又由{a_n}为递减数列，于是q=，
∴ a_n=a₁=()ⁿ．                            6分
（Ⅱ）由于b_n=a_nlog₂a_n=-n?()ⁿ，
∴ ，
于是，
两式相减得：
∴ ．
∴ ≥，解得n≤4，
∴ n的最大值为4．                       12分