Question

已知f（x）=x-

1-2x

，则函数的值域为

（-∞，

1

2

]

．

Answer 1

分析：根据二次根号的被开方数不小于零，求出函数的定义域为（-∞，

1

2

]．由基本初等函数的单调性与单调性的运算法则，可得y=x-

1-2x

是区间（-∞，

1

2

]上的增函数，所以函数的最大值为

1

2

，由此即可得到函数的值域．

解答：解：根据题意，可得x∈{x|1-2x≥0}，解之得函数的定义域为（-∞，

1

2

]．
∵函数y₁=x在区间（-∞，

1

2

]上是增函数，函数y₂=

1-2x

区间（-∞，

1

2

]上是减函数，
∴y=x-

1-2x

是区间（-∞，

1

2

]上的增函数，可得函数的最大值为f（

1

2

）=

1

2

．
因此，函数y=x-

1-2x

的值域为（-∞，

1

2

]．
故答案为：（-∞，

1

2

]

点评：本题求含有根式的函数的值域，着重考查了函数定义域的求法、基本初等函数的单调性和函数单调性的应用等知识，属于中档题．