Question

已知函数，f(x)=log2x-x+1，(x∈[2，+∞))，数列{an}满足a1=2，

an+1

an

=2，(n∈N*)．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）求f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）．

Answer 1

分析：（I）根据

an+1

an

=2，a₁=2，利用等比数列的定义可得数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）由（I）可得f（a_n）=log₂2ⁿ-2ⁿ+1=（n+1）-2ⁿ，利用等差数列与等比数列的求和公式，可得结论．

解答：解：（I）∵

an+1

an

=2，a₁=2，∴数列{a_n}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ；
（II）由（I）可得f（a_n）=log₂2ⁿ-2ⁿ+1=（n+1）-2ⁿ，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=[2+3+…+（n+1）]-（2+2²+…+2ⁿ]
=

n(n+3)

2

-2n+1+2．

点评：本题考查等比数列的定义，考查等差数列与等比数列的求和公式，属于中档题．