Question

已知函数，f(x)=Acos2(ωx+φ)+1(A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

)的最大值为3，f（x）的图象的相邻两对称轴间的距离为2，在y轴上的截距为2．
（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用二倍角公式对函数解析式化简，进而根据函数的最大值求得A，根据两对称轴间的距离求得函数的最小正周期，进而求得ω，把x=0代入解析式结果为2进而求得φ，则函数的解析式可得．
（Ⅱ）先利用正弦函数的单调性可知当2kπ+

π

2

＜

π

2

x＜2kπ+

3π

2

时f（x）单调递增，进而求得x的范围，求得函数的单调性递增区间．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

A

2

cos（2ωx+2φ）+1+

A

2

依题意

A

2

+1+

A

2

=3，∴A=2

T

2

=2，得T=4∴

2π

2ω

=4ω=

π

4

∴f（x）=cos（

π

2

x+2φ）+2
令x=0，得cos2φ+2=2，又0＜φ

π

2

∴2φ=

π

2

所以函数f（x）的解析式为
f（x）=2-sin

π

2

x
还有其它的正确形式，如：
f（x）=2cos2（

π

4

x+

π

4

）+1，f（x）=cos（

π

2

x+

π

2

）+2
（Ⅱ）当2kπ+

π

2

＜

π

2

x＜2kπ+

3π

2

，
k∈Z时f（x）单调递增
即4k+1＜x＜4k+3，k∈Z
∴f（x）的增区间是（4k+1，4k+3），k∈Z．

点评：本题主要考查了利用y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数的解析式．应熟练掌握如振幅，权相，周期等问题．