Question

（2013•陕西）设S_n表示数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ） 若{a_n}为等差数列，推导S_n的计算公式；
（Ⅱ） 若a₁=1，q≠0，且对所有正整数n，有S_n=

1-qn

1-q

．判断{a_n}是否为等比数列，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）设等差数列的公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d，可得a₁+a_n=a₂+a_n-1=…，利用“倒序相加”即可得出；
（II）利用a_n+1=S_n+1-S_n即可得出a_n+1，进而得到a_n，利用等比数列的通项公式即可证明其为等比数列．

解答：证明：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d，可得a₁+a_n=a₂+a_n-1=…，
由S_n=a₁+a₂+…+a_n，
S_n=a_n+a_n-1+…+a₁．
两等式相加可得2S_n=（a₁+a_n）+（a₂+a_n-1）+…+（a_n+a₁），
∴Sn=

n(a1+an)

2

=na1+

n(n-1)

2

d．
（II）∵a₁=1，q≠0，且对所有正整数n，有S_n=

1-qn

1-q

．
∴a_n+1=S_n+1-S_n=

1-qn+1

1-q

-

1-qn

1-q

=qⁿ．
∴an=

1，n=1 qn-1，n≥2

，可得an=qn-1（n∈N^*），
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，q≠1为公比的等比数列．

点评：熟练掌握等差数列的通项公式及“倒序相加”法、等比数列的定义及通项公式、通项公式与前n项和的公式是解题的关键．