Question

设a＞0，

（1）证明f（x）=

取得极大值和极小值的点各1个；

（2）当极大值为1，极小值为-1时，求a和b的值.

Answer 1

（1）证明:f′（x）==.

令f′（x）=0,即ax²+2bx-a=0.

∵Δ=4b²+4a²＞0,∴方程（*）有两个不相等的实根,记为x₁,x₂.?

不妨设x₁＜x₂,则有f′（x）=a（x-x₁）（x-x₂）,f′（x）、f（x）的变化情况如下表:

x	（-∞,x1）	x1	（x1,x2）	x2	（x2,+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小	↗	极大	↘

由上表可见，f（x）取得极大值和极小值的点各1个.?

（2）解：由（1）可知f（x₁）==-1,f（x₂）==1-x₁²-1=ax₁+b,且1+x₂²=ax₂+b,两式相加,得x₂²-x₁²=a（x₁+x₂）+2b.

又x₁+x₂=,代入上式,得:

x₂²-x₁²=a（）+2b.　

∴x₂²-x₁²=0,

即（x₂-x₁）（x₂+x₁）=0.?

而x₁＜x₂,∴x₁+x₂=0.?

∴b=0,代入（*）式,得?a（x²-1）=0.?

∵a＞0,

∴x=±1,再代入原式,得a=2.

∴a=2,b=0.