Question

已知函数为奇函数，f（1）＜f（3），且不等式的解集是[-2，-1]∪[2，4]
（1）求a，b，c．
（2）是否存在实数m使不等式对一切θ∈R成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据函数为奇函数，则f（-x）=-f（x），构造方程可得b值，由不等式的解集是[-2，-1]∪[2，4]，根据±2均为不等式的解，可得c值，根据f（1）＜f（3），结合函数单调性，及不等式解集的端点是对应方程的根，求出a值．
（2）根据（1）中函数的单调性，结合奇函数在对称区间上单调性相同，可得f（x）在（-∞，0）上也是增函数，将不等式恒成立转化为函数的最值问题后，构造关于m的不等式，可得答案．
解答：解：（1）∵，
∴．…（1分）
不等式的解集中包含2和-2，
∴f（2）≥0，f（-2）=-f（2）≥0，
即得，所以c=-4…（2分）
∵，
∴．…（3分）
当a＞0时，在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）内任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，那么
即…（5分）．
综上所述：…（6分）
（2）∵，
∴在（-∞，0）上也是增函数．…（7分）
又-3≤-2+sinθ≤-1，
∴，
而，
所以，m为任意实数时，不等式…（12分）
点评：本题是函数奇偶性，单调性，函数恒成立问题及不等式方程函数关系的综合应用，其中根据已知求出函数的解析式难度比较大，也是解答本题的关键．