题目内容

设f（x）=
5
2
cos2x-
1
2
sin2x+3
3
sinxcosx，则f（x）的最小正周期为（　　）
分析：函数解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期．
解答：解：f（x）=
5
4
（1+cos2x）+
1
4
（1-cos2x）+
3
3
2
sin2x=
3
2
-cos2x+
3
3
2
sin2x=
31
2
sin（2x-θ）+
3
2
，（cosθ=
3
3
2
31
2
，sinθ=
1
31
2
），
∵ω=2，∴T=π．
故选C
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．
练习册系列答案
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设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+3）•f（x）=-1，f（-1）=2，则f（2010）=
0
0
．
设f（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）上的奇函数，其导函数为f′（x），当0＜x＜π时，f′（x）•cosx-sinx•f（x）＞0，则不等式f（x）•cosx＜0的解集为
(-π，-
π
2
)∪(0，
π
2
)
(-π，-
π
2
)∪(0，
π
2
)
．
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数f(x)=x3-
3
2
x2+3x-
1
4
，则它的对称中心为
（
1
2
，1）
（
1
2
，1）
．
设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值是-5，其导函数的图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若对任意的x∈[
1e
，e]都有f（x）≥x3-3lnx+m恒成立，求实数m的取值范围．
设f（x）=x（ax2+bx+c）（a≠0）在x=1和x=-1处有极值，则下列点中一定在x轴上的是（　　）

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