Question

设f（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）上的奇函数，其导函数为f′（x），当0＜x＜π时，f′（x）•cosx-sinx•f（x）＞0，则不等式f（x）•cosx＜0的解集为

(-π，-

π

2

)∪(0，

π

2

)

．

Answer 1

分析：根据[f（x）cosx]′=f'（x）•cosx-sinx•f（x），据已知条件及导函数符号与函数单调性的关系判断出f（x）cosx的单调性，容易得到函数f（x）cosx的两个零点，根据函数的单调性求出不等式的解集．

解答：解：设g（x）=f（x）cosx，
∵f（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）上的奇函数，
故g（-x）=f（-x）cos（-x）=-f（x）cosx=-g（x），
∴g（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）上的奇函数．
g'（x）=f'（x）cosx-sinxf（x）＞0，
∴g（x）在（0，π）上递增，
于是奇函数g（x）在（-π，0）递增．
∵g（±

π

2

）=0
∴f（x）•cosx＜0的解集为(-π，-

π

2

)∪(0，

π

2

)．
故答案为：(-π，-

π

2

)∪(0，

π

2

)．

点评：求抽象不等式的解集，一般能够利用已知条件判断出函数的单调性，再根据函数的单调性将抽象不等式转化为具体函的不等式解之．