题目内容

如图，在正四棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，DC=DA=2，DD₁=4，点E在C₁C上，且CE=1．
（1）求异面直线A₁D与B₁B所成角的正切值；
（2）求证：A₁C⊥平面DBE；
（3）求二面角A₁-DE-B的余弦值．

解：如图，建立空间直角坐标系D-xyz．
则B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4）． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
（1）解：∵AA₁∥BB₁
∴∠AA₁D是异面直线A₁D与B₁B所成角
∵在Rt△AA₁D中，A₁A=4，AD=2
∴ $\text{[math]}$
即异面直线A₁D与B₁B所成角的正切值为 $\text{[math]}$ ．

（2）证明：∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴A₁C⊥BD，A₁C⊥DE
又DB∩DE=D
∴A₁C⊥平面DBE．

（3）解：由（2）知向量 $\text{[math]}$ 为平面DBE的一个法向量
设平面DA₁E的法向量 $\text{[math]}$ =（x，y，z）
由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 得2y+z=0，2x+4z=0
令z=-2，得x=4，y=1，
∴ $\text{[math]}$ =（4，1，-2） $\text{[math]}$
又二面角A₁-DE-B为锐角
∴二面角A₁-DE-B的余弦值为 $\text{[math]}$
分析：（1）说明∠AA₁D是异面直线A₁D与B₁B所成角，解三角形AA₁D，直接求异面直线A₁D与B₁B所成角的正切值；
（2）建立空间直角坐标系D-xyz，求出 $\text{[math]}$ ，计算 $\text{[math]}$ ，即可证明A₁C⊥平面DBE；
（3）向量 $\text{[math]}$ 为平面DBE的一个法向量，求出平面DA₁E的法向量 $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ 求二面角A₁-DE-B的余弦值．
点评：本题考查用向量证明垂直，二面角及其度量，异面直线所成的角，考查学生分析问题解决问题的能力，计算能力，是中档题．