Question

设函数f(x)=ax³+bx²+cx(a＜b＜c)，其图像在点A(1,f(1))，B(m，f(m))处的切线的斜率分别为0，—a.

(1)求证：o≤＜1；

(Ⅱ)若函数f(x)的递增区间为[s,t]，求|s-t|的取值范围；

(Ⅲ)若当x≥k时(k是与a，b，c无关的常数)，恒有f′(x)+a＜0，试求k的最小值.

Answer 1

答案：(Ⅰ)证明f′(x)=ax²+2bx+c,由题意及导数的几何意义得

f′(1)=a+2b+c=0,(1)f′(m)=am²+2bm+c=-a,(2)

又a＜b＜c,可得4a＜a+2b+c＜4c,即4a＜0＜4c,故a＜0,c＞0,

由(1)得c=a-2b,代入a＜b＜c,再由a＜0,得,(3)

将c=-a-2b代入(2)得am²+2bm-2b=0,即方程ax²+2bx-2b=0有实根.

故其判别式△=4b²+8ab≥0得≤-2,或≥0,(4)由(3),(4)得0≤＜1;

(Ⅱ)解:由f′(x)=ax²+2bx+c的判别式△′=4b²-4ac＞0,

知方程f′(x)=ax²+2bx+c=0(*)有两个不等实根,设x₁,x₂,

又由f′(1)=a+2b+c=0知,x₁=1为方程(*)的一个实根,则由根与系数的关系得

x₁+x₂,x₂=-1＜0＜x₁,当x＜x₂或x＞x₁时,f′(x)＞0,

当x₂＜x＜x₁时,f′(x)＞0故函数f(x)的递增区是为[x₂,x₁],由题设知[x₂,x₁]=[s,t],

因此|s-t|=|x₁-x₂|=2+,由(Ⅰ)知0≤＜1得|s-t|的取值范围[2,4];

(Ⅲ)解：由f′(x)+a＜0,即ax²+2bx+a+c＜0,即ax²+2bx-2b＜0,

因此a＜0,则x²+2·x-2＞0,整理得(2x-2)+x²＞0,

设g()=(2x-2)+x²,可以看作是关于的一次函数,

由题意g()＞0对于0≤＜1恒成立,

故即得x≤-1或-1,

由题意,[k,+∞](-∞,-1)U[-1,+∞],

故k≥-1,因此k的最小值为-1.