Question

如图，曲线段C是函数y=x

4

3

（x≥0）的图象，C过点P₁（1，1）．过P₁作曲线C的切线交x轴于Q₁点，过Q₁作垂直于x轴的直线交曲线C于P₂点，过P₂的切线交x轴于Q₂点，…，如此反复，得到一系列点Q₁，Q₂，…，Q_n，设Q_n（a_n，0）．
（1）求a₁；
（2）求a_n的表达式；
（3）证明：

1

a1+1

+

1

a2+1

+…

1

an+1

＞n-

1

2

+(

1

2

)n+1（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）求导函数，求得过P₁切线方程，即可求得a₁；
（2）确定过Pn+1(an，an

4

3

)的切线方程，利用直线过Q_n+1（a_n+1，0），可得a_n的表达式；
（3）证明

1

an+1

＞1-

1

2n+1

，累加即可证得结论．

解答：（1）解：y′=

4

3

x

1

3

，则y′|x=1=

4

3

…（2分）
过P₁切线方程：y-1=

4

3

(x-1)，可得Q1(

1

4

，0)，则a1=

1

4

．    …（4分）
（2）解：y′|x=an=

4

3

an

1

3

，过Pn+1(an，an

4

3

)的切线方程：y-an

4

3

=

4

3

an

1

3

(x-an)，…（6分）
该直线过Q_n+1（a_n+1，0），则0-an

4

3

=

4

3

an

1

3

(an+1-an)
化简得an+1=

1

4

an，则an=(

1

4

)n…（8分）
（3）证明：

1

an+1

=

4n

1+4n

=1-

1

4n+1

，…（9分）
而4ⁿ+1＞2•2ⁿ=2ⁿ⁺¹，故

1

an+1

＞1-

1

2n+1

…（11分）
所以

1

a1+1

+

1

a2+1

+…

1

an+1

＞n-[(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n+1]=n-

1

4

•

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=n-

1

2

+(

1

2

)n+1
所以

1

a1+1

+

1

a2+1

+…

1

an+1

＞n-

1

2

+(

1

2

)n+1…（14分）

点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项，考查不等式的证明，确定数列的通项是关键．