Question

给出下列命题：
①存在实数α使sinα•cosα=1成立；
②存在实数α使sinα+cosα=

3

2

成立；
③函数y=sin(

5π

2

-2x)是偶函数；     
④x=

π

8

是函数y=sin(2x+

5π

4

)的图象的一条对称轴的方程；
其中正确命题的序号是（　　）

A．①③

B．②③④

C．③④

D．①③④

Answer 1

分析：根据二倍角公式得到sinαcosα=

1

2

sin2α，结合正弦函数的值域可判断①正误；
根据两角和与差的正弦公式可得到sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）结合正弦函数的可判断②正误；
根据诱导公式得到 y=sin(

5π

2

-2x)=sin(

π

2

-2x)=cos2x，再由余弦函数的奇偶性可判断③正误；
将x=

π

8

代入到y=sin(2x+

5π

4

)得到sin(2×

π

8

+

5π

4

)=sin

3π

2

=-1，根据正弦函数的对称性可判断④正误．

解答：解：对于①，由sinα•cosα=1，得sin2α=2，矛盾；
对于②，由sinα+cosα=

3

2

，得

2

sin（α+

π

4

）=

3

2

，矛盾；
对于③，y=sin(

5π

2

-2x)=sin(

π

2

-2x)=cos2x，是偶函数；
对于④，把x=

π

8

代入y=sin(2x+

5π

4

)得y=sin(2×

π

8

+

5π

4

)=sin

3π

2

=-1，x=

π

8

是函数y=sin(2x+

5π

4

)的图象的一条对称轴方程．
故③④正确
故选 C．

点评：本题主要考查二倍角公式、两角和与差的公式、诱导公式和三角函数的对称性．考查三角函数公式的综合应用．三角函数的公式比较多，很容易记混，平时要注意积累．是基础题