Question

（本小题满分12分）
已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线 的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点P（2,2）的直线与曲线C交于A、B两点，设当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求的值．
（3）若函数在[1，3]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）的距离小于1，
∴点M在直线l的上方，点M到F（1，0）的距离与它到直线的距离相等
，所以曲线C的方程为
（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，
设直线m的方程为，
代入 （*）
与曲线C恒有两个不同的交点   
设交点A，B的坐标分别为，
则

点O到直线m的距离，

，
（舍去）
当方程（*）的解为
若
若
当方程（☆）的解为
若
若
所以，

解析