Question

【题目】在平面直角坐标系中，设椭圆的左焦点为，左准线为为椭圆上任意一点，直线，垂足为，直线与交于点．

（1）若，且，直线的方程为．①求椭圆的方程；②是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

（2）设直线与圆交于两点，求证：直线均与圆相切．

Answer 1

【答案】（1）①；②不存在；（2）证明见解析.

【解析】

（1）①根据左准线方程求出参数a，从而得出椭圆方程；

②设出，根据点在椭圆上且得出关于的方程组，根据解的情况，得出结果；

（2）设点，，根据,求出，对进行转化，借助在圆上，进而得出结果.

解：（1）①因为直线的方程为，

所以

因为，

所以，解得或

因为，

所以，，

椭圆方程为.

②设，则，即，

当或时，均不符合题意；

当或时，直线的斜率为，

直线的方程为，

故直线的方程为，

联立方程组，解得，

所以，

因为，

故，

即或

方程的根为，

因为，故无解；

方程的，故无解，

综上：不存在点P使.

（2）设，

则，，

因为,

所以，

即，

由题意得，所以，

所以

因为，

所以

因为在圆上，所以，即，

故，

所以，

所以直线与圆相切，

同理可证：与圆相切.