Question

2．已知过点A（1，0）的直线l与曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=1+2sinα}\end{array}\right.$（α是参数）交于P，Q两点
（1）求直线PQ的参数方程
（2）求|AP|+|AQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意求出直线l的参数方程，即是直线PQ的参数方程；
（2）将曲线C的参数方程华为直角坐标方程，将直线l的参数方程代入圆的方程，得到参数t的二次方程，运用韦达定理求出t₁+t₂、t₁t₂，再化简|AP|+|AQ|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|，利用二倍角公式和正弦函数的值域，即可得到最小值．

解答 解：（1）∵过点A（1，0）的直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t为参数），
∴直线PQ的参数方程是：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$（t为参数），
（2）由曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=1+2sinα}\end{array}\right.$（α是参数）得，（x-2）²+（y-1）²=4，
∴曲线C的直角坐标方程是（x-2）²+（y-1）²=4，
将直线l的参数方程代入圆的方程，可得t²-2（cosθ+sinθ）t-2=0，
∴t₁+t₂=2（cosθ+sinθ），t₁t₂=-2，
则|AP|+|AQ|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$
=$\sqrt{4（cosθ+sinθ）^{2}+8}$=$\sqrt{12+4sin2θ}$，
∴当sin2θ=-1，即θ=kπ-$\frac{π}{4}$（k∈Z）时，|AP|+|AQ|取得最小值2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查参数方程和普通方程的互化，直线参数方程的参数的几何意义及运用，以及韦达定理和正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．