Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、CD的中点．
（1）证明：AD⊥D₁F；
（2）证明：面AED⊥面A₁FD₁；
（3）设．

Answer 1

解：（1）证明：∵AC₁是正方体，∴AD⊥面DC₁ ，又D₁F?面DC₁，
∴AD⊥D₁F．
（2）证明：由（1）知AD⊥D₁F，由题意得 AE⊥D₁F，
又AD∩AE=A，∴D₁F⊥面AED，
又D₁F?面A₁FD₁，∴面AED⊥面A₁FD．
（3）取AB的中点G，连接GE、GD，∵体积，又FG⊥面ABB₁A₁，
三棱锥F-AA₁E的高FG=AA₁=2，∴==．
分析：（1）由正方体的性质可得AD⊥面DC₁ ，故AD⊥D₁F．
（2）由AD⊥D₁F，AE⊥D₁F，证得D₁F⊥面AED，从而证得面AED⊥面A₁FD．
（3）取AB的中点G，三棱锥F-AA₁E的高FG=AA₁=2，由 求得结果．
点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求棱锥的体积，证明D₁F⊥面AED是解题的关键．