Question

在如图所示的几何体中，四边形为正方形，四边形为等腰梯形，，，，.

（1）求证：平面；
（2）求四面体的体积；
（3）线段上是否存在点，使平面？请证明你的结论.

Answer 1

（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.

试题分析：（1）利用勾股定理得到，再结合并利用直线与平面垂直的判定定理证明平面；（2）先证明平面，从而得到为三棱锥的高，并计算的面积作为三棱锥的底面积。最后利用锥体的体积公式计算四面体的体积；（3）连接交于点，根据平行四边形的性质得到为的中点，然后取的中点，构造底边的中位线，得到，结合直线与平面平行的判定定理得到平面.
试题解析：（1）在中，因为，，，，
，
又因为，且，平面，平面，平面；
（2）因为平面，且平面，，
又，且，平面，平面，
平面，即为三棱锥的高，
在等腰梯形中可得，所以，
的面积为，
所以四面体的体积为；
（3）线段上存在点，且为的中点时，有平面，

证明如下：连接，与交于点，连接，
四边形为正方形，所以为的中点，
又为的中点，，
平面，平面，平面，
因此线段上存在点，使得平面成立.