Question

斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁是底面边长为2的正三角形，顶点A₁在底面ABC上的射影O是△ABC的中心，AA₁与AB的夹角是45°．

(1)求证：AA₁⊥平面A₁BC；

(2)求此棱柱的侧面积．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵点A1在底面ABC上的射影O是正△ABC的中心， ∴A1—ABC为正三棱锥，AA1=A1B=A1C． 又∠A1AB=45°∴∠AA1B=∠AA1C=90°，即AA1⊥A1B，AA1⊥A1C． 又A1B∩A1C=A，∴AA1⊥平面A1BC． (2)解：连结AO并延长交BC于D， ∵是正△ABC的中心，∴AD⊥BC． 又AO是AA1在底面ABC上的射影， ∴AA1⊥BC(由(1)知)， ∵BB1∥AA1，∴BB1⊥BC， ∴BCC1B1是矩形． 在Rt△AA1B中，AA1=A1B==BB1，又BC=2， ∴SAA1B1B=2S△AA1B=2，SBCC1B1=2． ∴S侧=2SAA1B1B＋SBCC1B1=4＋2．

提示：

点评：求斜棱柱的侧面积，可以求出每个侧面的面积相加，也可以求出直截面的周长和侧棱长计算其乘积．