Question

已知椭圆C的方程为+=1(a＞b＞0),双曲线-=1的两条渐近线为l₁、l₂,过椭圆C的右焦点F作直线l,使l⊥l₁,又l与l₂交于P点,设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B.(如图)

(1)当l₁与l₂夹角为60°,双曲线的焦距为4时,求椭圆C的方程;

(2)当=λ时,求λ的最大值.

Answer 1

剖析：(1)求椭圆方程即求a、b的值,由l₁与l₂的夹角为60°易得=,由双曲线的距离为4易得a²+b²=4,进而可求得a、b.

    (2)由=λ,欲求λ的最大值,需求A、P的坐标,而P是l与l₁的交点,故需求l的方程.将l与l₂的方程联立可求得P的坐标,进而可求得点A的坐标.将A的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值.

解：(1)∵双曲线的渐近线为y=±x,两渐近线夹角为60°,

    又＜1,

    ∴∠POx=30°,即=tan30°=.

    ∴a=b.

    又a²+b²=4,

    ∴a²=3,b²=1.

    故椭圆C的方程为+y²=1.

    (2)由已知l:y=(x-c),与y=x解得P(,),

    由=λ得A(,).

    将A点坐标代入椭圆方程得

    (c²+λa²)²+λ²a⁴=(1+λ)²a²c².

    ∴(e²+λ)²+λ²=e²(1+λ)².

    ∴λ²==-［(2-e²)+］+3≤3-2.

    ∴λ的最大值为-1.