Question

已知直线经过椭圆C：的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线：分别交于M，N两点，如图所示。

（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段MN的长度的最小值；
（3）当线段MN的长度的最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得△TSB的面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由题意，得椭圆方程为。
（2）设直线AS的方程为，
从而可知M点的坐标为，
由，得，
所以可得BS的方程为，
从而可知N点的坐标为，
∴，当且仅当时，等号成立，
故当时，线段MN的长度取最小值。
（3）由（2）知，当|MN|取最小值时，，
此时直线BS的方程为，，
∴|BS|=，
要使椭圆C上存在点T，使得△TSB的面积等于，只需T到直线BS的距离等于，
所以点T在平行于直线BS且与直线BS的距离等于的直线上。

则直线：或，
联立，，△<0，无解；
，△=44>0，有两个解；
所以T有两个。