Question

18.如图2，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将、分别沿翻折成、，并连结，使得平面平面，，且.连结，如图3.

           

　　　　图2                                      图3

（I）证明：平面平面；

（II）当，，时，求直线和平面所成的角.

Answer 1

解：解法一：（Ｉ）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.

（II）过点作于点，连结.

由（I）的结论可知，平面，

所以是和平面所成的角.

因为平面平面，平面平面，，

平面，所以平面，故.

因为，，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形.

由题设，，，则.所以，，

，.

因为平面，，所以平面，从而.

故，.

又，由得.

故.

即直线与平面所成的角是.

解法二：（I）因为平面平面，平面平面，，

平面，所以平面，从而.又，所以平面.因为平面，所以平面平面.

（II）由（I）可知，平面.故可以为原点，分别以直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），

由题设，，，则，，，相关各点的坐标分别是，，，.

所以，.

设是平面的一个法向量，

由得故可取.

过点作平面于点，因为，所以，于是点在轴上.

因为，所以，.

设（），由，解得，

所以.

设和平面所成的角是，则

.

故直线与平面所成的角是.