Question

【题目】已知函数 ．
（1）若 ，讨论函数 的单调性；
（2）曲线 与直线 交于 ， 两点，其中 ，若直线 斜率为 ，求证： ．

Answer 1

【答案】
（1）

， ，当a≥0时，恒有 ， 在区间 内是增函数；

当a<0时，令 ，即 ，解得 ，令 即 ，解得 ，综上，当a≥0时， 在区间 内是增函数；

当a<0时， 在 内是增函数，在 内是减函数.

（2）

证明： ，要证明 ，

即证 ，等价于 ，令 （由 ，知t>1）,

则只需证 ，由t>1，知 ，故等价于 （*）

①令 ，则 ，所以 在 内是增函数，当t>1时， ，所以 ；

②令 则 ，所以 在 内是增函数，当t>1时， ，即 .

由①②知（*）成立，所以 .

【解析】本题考查利用导数求函数的单调性、极值、最值，函数与方程、不等式等基础知识，意在考查综合分析问题、解决问题的能力和基本运算能力．