Question

如图，平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为两等腰直角三角形，A（－2，0），C（a,0）（a>0）。设△AOB和△COD的外接圆圆心分别为M，N。

   （1）若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程；

   （2）若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程；

   （3）是否存在这样的⊙N，使得⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为，若存在，求此时⊙N的标准方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）圆心．

∴圆方程为，

直线CD方程为．   

∵⊙M与直线CD相切，

∴圆心M到直线CD的距离d=，         

化简得： （舍去负值）．

∴直线CD的方程为．            

（2）直线AB方程为：，圆心N ．

∴圆心N到直线AB距离为．  

∵直线AB截⊙N的所得弦长为4，

∴．

∴a=±（舍去负值） ．                                

∴⊙N的标准方程为．                   

（3）存在．

由（2）知，圆心N到直线AB距离为（定值），且AB⊥CD始终成立，

∴当且仅当圆N半径，即a=4时，

⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为 ．       

此时，⊙N的标准方程为．