Question

已知函数f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx（a＞0）．
（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（II）求f（x）的单调区间；
（III）若f（x）≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）当a=1时，f（x）=x²-4x+2lnx，对f（x）求导，计算x=1时的导数值，即为y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率，从而写出切线方程；
（II）对f（x）求导，令f'（x）=0，解方程；讨论f'（x）＞0、＜0的区间，从而确定f（x）的增、减区间；
（III）由（II）知f（x）在区间[1，e]上的最大值点只在端点处取得，只须f（1）≤0且f（e）≤0，求得a的取值范围．

解答：解：（I）因为a=1，∴f（x）=x²-4x+2lnx，
所以f，（x）=2x-4+

2

x

=

2x2-4x+2

x

（其中x＞0），∴f（1）=-3，f'（1）=0，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=-3．
（II）∵f（x）=x²-2（a+1）x+2alnx（其中a＞0）．
∴f，（x）=2x-2（a+1）+

2a

x

=

2x2-2(a+1)x+2a

x

=

2(x-1)(x-a)

x

（其中x＞0），
由f'（x）=0，得x₁=a，x₂=1；
①当0＜a＜1时，在x∈（0，a）或x∈（1，+∞）时f'（x）＞0，在x∈（a，1）时f'（x）＜0，
所以f（x）的单调增区间是（0，a）和（1，+∞），单调减区间是（a，1）；
②当a=1时，在x∈（0，+∞）时f'（x）≥0，所以f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
③当a＞1时，在x∈（0，1）或x∈（a，+∞）时f'（x）＞0，在x∈（1，a）时f'（x）＜0．
所以f（x）的单调增区间是（0，1）和（a，+∞），单调减区间是（1，a）．
（III）由（II）知：当0＜a≤1时，f（x）在区间[1，e]上是增函数，最大值是f（e）；
当a＞1时，f（x）在区间[1，e]上只可能有极小值点，最大值只在区间的端点处取到，
即有f（1）=1-2（a+1）=-2a-1≤0，∴a≥-

1

2

；且f（e）=e²-2（a+1）e+2a=e²-2e-2（e-2）a≤0，整理得a≥

e2-2e

2e-2

，所以a的取值范围是{a|a≥

e2-2e

2e-2

}．

点评：本题利用导数求函数在某一点处的切线方程，判定函数的单调性以及求函数在区间上的最值问题，是难题．