题目内容

已知函数f（x）=x（x-6）+alnx在x∈（2，+∞）上不具有单调性．
（I）求实数a的取值范围；
（II）若f'（x）是f（x）的导函数，设 $数学公式$ ，试证明：对任意两个不相等正数x₁、x₂，不等式 $数学公式$ 恒成立．

解：（I） $\text{[math]}$ ，
∵f（x）在x∈（2，+∞）上不具有单调性，∴在x∈（2，+∞）上f'（x）有正也有负也有0，
即二次函数y=2x²-6x+a在x∈（2，+∞）上函数值有负数．
∵y=2x²-6x+a是对称轴是 $\text{[math]}$ ，开口向上的抛物线，
∴2•2²-6•2+a＜0的实数a的取值范围（-∞，4）
故答案为（-∞，4）．

（II）由（I） $\text{[math]}$ ，
∵a＜4，∴ $\text{[math]}$ ，（8分）
设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，h（x）在 $\text{[math]}$ 是减函数，在 $\text{[math]}$ 增函数，
当 $\text{[math]}$ 时，h（x）取最小值 $\text{[math]}$ ∴从而g'（x） $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
函数 $\text{[math]}$ 是增函数，x₁、x₂是两个不相等正数，
不妨设x₁＜x₂，则 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
∵x₂-x₁＞0，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）求函数在x∈（2，+∞）上不具有单调性时实数a的取值范围，可以考虑求导函数的方法，则导函数在（2，+∞）上即有正也有负，即有零点，求出范围即可．
（Ⅱ）由（I）求出g（x）的函数表达式，然后求导函数h（x），通过判断h（x）的单调性求出g'（x） $\text{[math]}$ ，然后可以得到函数 $\text{[math]}$ 是增函数，对任意两个不相等正数x₁、x₂，即可得到不等式成立．
点评：此题主要考查不等式的证明问题，其中涉及到利用求导函数的方法求函数单调性的问题，涵盖的考点较多，技巧性强，属于综合性试题．