Question

【题目】已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax．
（1）若函数f（x）在x=3处取得极值，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若a＞ ，函数y=f（x）在[0，2a]上的最小值是﹣a2 ， 求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax，

∴f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a，

∵3是函数y=f（x）的极值点，

∴f′（3）=0，即6×32﹣6（a+1）×3+6a=0，

解得：a=3，

∴f（x）=2x3﹣12x2+18x，

f′（x）=6x2﹣24x+18，

则f（0）=0，f′（0）=18，

∴y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程是：y=18x；

（2）解：由（1）得：f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a，

∴f′（x）=6（x﹣1）（x﹣a），

①a=1时，f′（x）=6（x﹣1）2≥0，

∴f（x）min=f（0）=0≠﹣a2，

故a=1不合题意；

②a＞1时，令f′（x）＞0，则x＞a或x＜1，

令f′（x）＜0，则1＜x＜a，

∴f（x）在[0，1]递增，在[1，a]递减，在[a，2a]递增，

∴f（x）在[0，2a]上的最小值是f（0）或f（a），

∵f（0）=0≠﹣a2，由f（a）=2a3﹣3（a+1）a2+6a2=﹣a2，

解得：a=4；

③ ＜a＜1时，令f′（x）＞0，则有x＞1或x＜a，

令f′（x）＜0，则a＜x＜1，

∴f（x）在[0，a]递增，在[a，1]递减，在[1，2a]递增，

∴f（x）min=f（1）=2﹣3（a+1）+6a=﹣a2，

解得：a= 与 ＜a＜1矛盾，

综上，符合题意的a的值是4

【解析】（1）求出函数的导数，根据3是函数y=f（x）的极值点，得到关于a的方程，解出a，求出f（x）的解析式，从而求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数f（x）的最小值，求出对应的a的值即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．