Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是A₁B₁，CD的中点．
（1）求二面角E-AF-B的大小； 
（2）求点B到面AEF的距离．

Answer 1

分析：（1）作EM⊥AB于M，则M为AB中点，过M作MO⊥AF于点O，连接EO，易证∠EOM即为二面角E-AF-B的平面角，由sin∠MAO=cos∠DAF=

AD

AF

可求sin∠MAO，在Rt△MOA中，OM=AM•sin∠MAO可求OM，在Rt△EMO中，tan∠EOM=

EM

OM

，由此可求角∠EOM；
（2）等积法：设点B到面AEF的距离为d，由V_B-AEF=V_E-ABF，得

1

3

×S△AEF×d=

1

3

×S△ABF×1，两三角形面积易求，从而可解d；

解答：解：（1）作EM⊥AB于M，则M为AB中点，过M作MO⊥AF于点O，连接EO，
如右图所示：
由三垂线定理知AF⊥OE，
∴∠EOM即为二面角E-AF-B的平面角，
sin∠MAO=cos∠DAF=

AD

AF

=

1

1+( 1 2 )2

=

2 5

5

，
在Rt△MOA中，OM=AM•sin∠MAO=

1

2

×

2 5

5

=

5

5

，
在Rt△EMO中，tan∠EOM=

EM

OM

=

1

5 5

=

5

，
所以∠EOM=arctan

5

，
故二面角E-AF-B的大小为arctan

5

；
（2）连接BE、BF，设点B到面AEF的距离为d，
AE=

AA12+A1E2

=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，AF=

AD2+DF2

=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，
连接EM，FM，则EF=

ME2+MF2

=

2

，
可知△AEF为等腰三角形，边EF上的高h=

AE2-( 1 2 EF)2

=

5 4 - 1 2

=

3

2

，
由V_B-AEF=V_E-ABF，得

1

3

×S△AEF×d=

1

3

×S△ABF×1，即

1

3

×

1

2

×

2

×

3

2

×d=

1

3

×

1

2

×1×1，
解得d=

6

3

，即点B到面AEF的距离为

6

3

．

点评：本题考查二面角的求解、点到平面距离的求解，考查转化思想，考查学生的空间想象能力、推理论证能力．