题目内容

已知函数 $数学公式$ ，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）；数列{b_n}满足 $数学公式$ ， $数学公式$ ，其中S_n为数列{b_n}前n项和，n=1，2，3…
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）设 $数学公式$ ，证明T_n＜5．

解：（1）∵f（x）= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为首项，以2为公差的等差数列，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，又∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
b_n+2=2S_n+1+1，
∴b_n+2-b_n+1=2（S_n+1-S_n），
∴b_n+2=3b_n+1，∵ $\text{[math]}$ ，b₂=2S₁+1=2，
∴{b_n}从第二项起成等比数列，公比为3，
∴ $\text{[math]}$ ．
（2）证明：依题意
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$ ，①
$\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，②
①-②，得 $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
=3+2× $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
=5- $\text{[math]}$ ＜5．
即T_n＜5．
分析：（1）由f（x）= $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，由此能求出数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式．
（2）依题意 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，由错位相减法能求出 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ =5- $\text{[math]}$ ＜5．
点评：本题考查数列与函数的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．易错点是计算量大，在计算过程中容易出错．