Question

下列说法中正确的是______（写出所有正确的序号）
①△ABC中，若a=

3

，b=1，A=30°，则cosB的值有两解；
②△ABC中，若a=1，b=

3

，A=30°，则cosB的值有两解；
③△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B；
④△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．

Answer 1

①由a=

3

，b=1，A=30°，
根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

1× 1 2

3

=

3

6

，
又a＞b，得到A＞B，即B＜30°，
则cosB=

1-sin2B

=

33

6

，即cosB只有一解，本选项错误；
②由a=1，b=

3

，A=30°，
根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

3 × 1 2

1

=

3

2

，
又a＜b，得到A＜B，即B＞30°，
则cosB=

1-sin2B

=

1

2

，即cosB有两解，本选项正确；
③在△ABC中，若sinA＞sinB，则由正弦定理可得 a＞b，
再根据△ABC中大边对大角可得A＞B，本选项正确；
④△ABC中，若A＞B，分两种情况：
当0＜B＜A≤90°，正弦函数sinx为单调递增区间，显然sinA＞sinB；
当0＜B＜90°＜A，设B=90°-x，A=90°+y（x与y均为大于0，小于90°的角），
sinB=sin（90°-x）=cosx，sinA=（90°+y）=cosy，
∵0＜A+B＜180°，则0＜90°-x+90°+y＜180，∴x＞y，
由余弦函数cosx在（0，90°）为单调递减函数，
∴cosx＜cosy，即sinB＜sinA，
综上，△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB，本选项正确，
故答案为：②③④