Question

已知函数的定义域为.

（I）求函数在上的最小值；

（Ⅱ）对，不等式恒成立，求的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）当时，，当时，；（2）．

【解析】

试题分析：（I）先用导数工具求出函数在上的单调区间，然后考察区间与其关系，根据需要对分类讨论；（Ⅱ）不等式恒成立问题，通常可以通过分离参数转化为求函数的最值问题，如本题分离参数后可得到，，然后转化为求左边函数的最小值问题，可用导数判断其单调性，再求出最小值，小于这个最小值即可.对于不等式恒成立问题通常可以通过分离参数或直接考察函数的性质解决，一般来说方便分离参数的还是分离参数，这样在研究函数的性质时可避开参变数的影响，便于解决问题.

试题解析：解：，                1分

令得；令得  

所以，函数在上是减函数；在上是增函数               3分

（I）当时，函数在上是增函数，

 所以，                      5分

 当时，函数在上是减函数；在上是增函数

所以，                         7分

（Ⅱ）由题意，对，不等式恒成立

即 恒成立                     9分

令，则                    11分

由得；由得                              13分

所以，。     所以，.                       14分

考点：函数与导数、函数的极值和最值.