Question

抛物线y²=4x的焦点为F，点A、B在抛物线上（A点在第一象限，B点在第四象限），且|FA|=2，|FB|=5，
（1）求点A、B的坐标；
（2）求线段AB的长度和直线AB的方程；
（3）在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求这个最大面积．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知，|FA|=2，|FB|=5，可根据抛物线的定义求出两点的横坐标，再代入方程求出它们的纵坐标，求得点A、B的坐标；
（2）由（1）两点坐标已知，故由两点间距离公式求出两点的距离，由直线方程的两点式求出直线AB的方程；
（3）由题意，求△PAB的面积最大值可转化为求点P到直线AB的距离的最大值，设出点P的坐标，由点到直线的距离公式建立起点P到直线AB的距离的函数关系式，利用函数的知识求出最值，即可求出面积的最大值以及此时的点P的坐标．

解答：解：（1）抛物线的焦点F（1，0），点A在第一象限，设A（x₁，y₁），y₁＞0，
由|FA|=2得x₁+1=2，x₁=1，代入y²=4x中得y₁=2，所以A（1，2），…（2分）；
同理B（4，-4），…（4分）
（2）由A（1，2），B（4，-4）得|AB|=

(1-4)2+(2+4)2

=3

5

…（6分）
直线AB的方程为

y-2

-4-2

=

x-1

4-1

，化简得2x+y-4=0．…（8分）
（3）设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x₀，y₀），且0≤x₀≤4，-4≤y₀≤2．
则点P到直线AB的距离d=

|2x0+y0-4|

1+4

=

|2× y0 2 4 +y0-4|

5

=

| 1 2 (y0+1)2- 9 2 |

5

 …（9分）
所以当y₀=-1时，d取最大值

9 5

10

，…（10分）
所以△PAB的面积最大值为S=

1

2

×3

5

×

9 5

10

=27  …（11分）
此时P点坐标为（

1

4

，-1）．…（12分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题的关键是依据抛物线的定义求出两点的坐标，熟练掌握两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线方程的求法对解答本题也很关键，本题考查了推理判断的能力及符号运用的能力，运算量较大，直线与圆锥曲线的关系是近几年高考对圆锥曲线考查的一个重要形式，题后要认真总结此类题的做题规律