Question

选修4-5：不等式选讲．
已知函数f（x）=log₃（|x-1|+|x-4|-a），a∈R．
（Ⅰ）当a=-3时，求f（x）≥2的解集；
（Ⅱ）当f（x）定义域为R时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=-3时，求f（x）≥2可得|x-1|+|x-4|≥6．而-

1

2

、

11

2

对应点到1和4对应点的距离之和正好等于6，由此求得不等式的解集．
（Ⅱ）当f（x）=log₃（|x-1|+|x-4|-a）的定义域为R时，|x-1|+|x-4|＞a 恒成立．而由绝对值的意义求得|x-1|+|x-4|的最小值为3，从而求得a的范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=-3时，求f（x）≥2，即log₃（|x-1|+|x-4|+3）≥2，
∴|x-1|+|x-4|+3≥3²=9，∴|x-1|+|x-4|≥6．
而|x-1|+|x-4|表示数轴上的x对应点到1和4对应点的距离之和，
而-

1

2

对应点到1和4对应点的距离之和正好等于6，

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2

对应点到0和4对应点的距离之和正好等于6，
故不等式的解集为{x|x≤-

1

2

，或 x≥

11

2

}．
（Ⅱ）当f（x）=log₃（|x-1|+|x-4|-a）的定义域为R时，
|x-1|+|x-4|-a＞0恒成立，即|x-1|+|x-4|＞a 恒成立．
而由绝对值的意义可得，|x-1|+|x-4|的最小值为3，故有3＞a，
故a的范围为（3，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值的意义，以及函数的恒成立问题，属于中档题．