题目内容
【题目】已知椭圆C：
（
）的一个焦点与抛物线
的焦点相同，
，
为椭圆的左、右焦点，M为椭圆上任意一点，若
的面积最大值为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设不过原点的直线l：
与椭圆C交于不同的两点A、B，若直线l的斜率是直线
、
斜率的等比中项，求
面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）由抛物线焦点坐标及
的面积最大值可求出
、
，即可求出椭圆的方程；
（2）联立直线与椭圆方程，设出交点坐标，再利用斜率公式可得
，再结合点到直线的距离公式求解即可.
解：（1）由抛物线的方程为
得其焦点坐标为
，
所以可得椭圆中
.
当M点位于椭圆的短轴顶点时，的面积最大，
此时
，所以
.
又由
得
，
所以椭圆C的方程为，
（2）由
消去y得
，
，即
（*）.
设
，
，则
，
.
∵直线l的斜率是直线
、
斜率的等比中项，
，
，
，
，
，
，
，代入（*）式得
.
又
，
，
且，
，
设点O到直线
的距离为d，则
，
，
且，
，
故
面积的取值范围为.
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