Question

【题目】已知函数.

（1）试讨论函数的导函数的零点个数；

（2）若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先对原函数求导，得到，再分类讨论即可得到单调性与极值，从而判断出导函数的零点个数；

（2）设研究函数的单调性与最值即可.

（1）解法一：由题得

∴

当时， 是减函数

且

，

∴此时有且只有一个零点

当时，，此时没有零点

当时

	+	0	-
	↗	极大值	↘

∴

（ⅰ）若 则此时，函数没有零点

（ⅱ）若则

此时，函数有且只有一个零点

（ⅲ）若 则

且，下面证明存在使

①取

下面证明，

证明：设 则，

∴在上恒负

∴在上是减函数

∴在上，恒有

∴在上是减函数

∴ ，得证

或②取

下面证明，

证明：设 则

∴在上是减函数

∴ ，得证

∴此时，函数有且只有两个零点

综上，函数的零点个数

解法二 由题得

当时，，此时没有零点

当时

导函数的零点个数等于函数与函数图象的交点个数

设 则

当时，；当时，

∴在上单调递增，在上单调递减

∴

又∵当时，，当时，（即，）

∴图象如图

∴当即时，有1个交点；当即/span>时，有2个交点；当即

时，有1个交点；当即时，没有交点.

综上，函数的零点个数

（2）设

∴

∴

题设成立的一个必要条件是即

当时

，

∴在上单调递减

又∵在处连续（连续性在解题过程中可不作要求，下面第三行同）

∴，

从而在上单调递减

∴，

∴实数的取值范围为