Question

【题目】

已知函数，．

（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；

（2）若存在极小值时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，如果存在两个不相等的正数，使得，求证：．

请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）由题可得，

依题意，即，解得．（2分）

（2）由（1）知，

当时，，在上单调递增，无极值；

当时，时，时，

故的单调递减区间为，单调递增区间为，

所以函数的极小值为．（4分）

当时，，即，即恒成立．（5分）

令，则，

令，得，且当时，，当时，，

故为在上唯一的极大值点，也是最大值点，

所以，所以，即实数的取值范围是．（7分）

（3）由（2）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，

设，则一定有．（8分）

构造函数，．（9分）

则．

因为，所以，即在上单调递减，

所以，所以．（10分）

因为，所以，

因为，所以，

因为，所以，

因为函数在上单调递增，所以，所以．（12分）