Question

已知点P（0，b）是y轴上的动点，点F（1，0）、M（a，0）满足PM⊥PF，动点N满足．
（1）求动点N所在曲线C的方程．
（2）若曲线C上的两点A、B满足OA⊥OB（O为坐标原点，A、B不同于O点），试证明直线AB必过定点，并求出这个定点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）设动点N（x，y）．依据题意，有，．由，知，由此能求出曲线C的方程．
（2）因A、B是曲线C：y²=4x（x≥0）上不同于原点的两点，设、，
则、，．由OA⊥OB，知y₁y₂=-16．由直线AB的法向量为，得直线AB的方程：，由此能够证明直线AB：恒过定点，且定点坐标为（4，0）．
解答：解：（1）设动点N（x，y）． （1分）
依据题意，有，．（3分）
又，
则，
进一步有．
因此，y²=4x（x≥0）．  （7分）
所以曲线C的方程是y²=4x（x≥0）． （8分）
（2）证明：因A、B是曲线C：y²=4x（x≥0）上不同于原点的两点，
可设、，
则、，
． （11分）
又OA⊥OB，
故．
所以y₁y₂=-16． （14分）
由直线AB的法向量为，
可得直线AB的方程：，
进一步化简为．（16分）
所以直线AB：恒过定点，
且定点坐标为（4，0）．      （18分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．