Question

（2013•浦东新区二模）记直线l_n：nx+（n+1）y-1=0（n∈N^*）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为S_n，则

lim

n→∞

(S1+S2+S3+…+Sn)=

1

2

．

Answer 1

分析：求出直线l_n：nx+（n+1）y-1=0（n∈N^*）与坐标轴的交点，写出所围成的直角三角形的面积为S_n，利用裂项相消求出S₁+S₂+…+S_n，最后求得极限值．

解答：解：设直线l_n：nx+（n+1）y-1=0与x轴y轴的交点分别为A_n，B_n，
则An(

1

n

，0)，Bn(0，

1

n+1

)，
所以直线l_n：nx+（n+1）y-1=0（n∈N^*）与坐标轴所围成的直角三角形的面积为：
S_n=

1

2

|OAn||OBn|=

1

2

•

1

n

•

1

n+1

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)．
∴S1+S2+…+Sn=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

n

2(n+1)

．
所以

lim

n→∞

(S1+S2+S3+…+Sn)=

lim

n→∞

n

2(n+1)

=

lim

n→∞

1

2(1+ 1 n )

=

1

2

．
故答案为

1

2

．

点评：本题考查了利用错位相减法求数列的前n项和，考查了数列极限的求法，是中档题．