Question

【题目】已知椭圆的左焦点坐标为，，分别是椭圆的左，右顶点，是椭圆上异于，的一点，且，所在直线斜率之积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作两条直线，分别交椭圆于，两点（异于点）.当直线，的斜率之和为定值时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理.

Answer 1

【答案】（1）（2）直线过定点

【解析】

（1），再由，解方程组即可；

（2）设，，由，得，由直线MN的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，代入计算即可.

（1）由题意知：，又，且

解得，，

∴椭圆方程为，

（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，设，，

由，得.

则，（*）

由，

得，

整理可得

（*）代入得，

整理可得，

又

，

∴，

即，

∴直线过点

当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，其中，

∴，

由，得，

所以

∴当直线的斜率不存在时，直线也过定点

综上所述，直线过定点.