Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）把所给的递推公式两边加上1后，得到a_n+1+1=2（a_n+1），再变为

an+1+1

an+1

=2，由等比数列的定义得证；
（2）根据（1）的结论和条件，求出{a_n+1}的通项公式，再求出{a_n}的通项公式，利用分组求和方法和等比数列的前n项和公式进行求解．

解答：解：（1）∵a_n+1=2a_n+1，（n∈N^*），
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴

an+1+1

an+1

=2，
∴数列{a_n+1}是以2为公比的等比数列，
（2）由（1）知，数列{a_n+1}是等比数列，且q=2，首项为a₁+1=2，
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1，
∴数列{a_n}的前n项和s_n=（2+2²+…+2ⁿ）-n=

2(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺¹-n-2．

点评：本题考察了等比数列的定义、通项公式和前n项和公式的应用，以及一般数列的求和方法：分组求和，对于数列的求和问题，一般先求出它的通项公式，再由通项公式的特点确定采用哪种方法．