Question

等差数列{a_n}中，，前n项和为S_n，S₂=4且S₄=12，等比数列{b_n}的公比为8，且b₃=64．
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，根据题意建立方程，求得{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）首先求出等差数列的前n项和{S_n}的表达式，进而求出

1

sn

，观察

1

sn

的形式，利用裂项求和法即可求得

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

解答：解：设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
（Ⅰ）由题意得：

S2=2a1+d=4 S4=4a1+6d=12

，
解得a₁=

3

2

，d=1
∴an=n+

1

2

，

q=8 b3=64

，解得b₁=1∴b_n=8^n-1；
（Ⅱ）∵Sn=

n(n+2)

2

∴

1

Sn

=

1

n

-

1

n+2

∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=（

1

1

-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）
=1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

=

3n2-13n

2(n+1)(n+2)

．

点评：本题主要考查数列求和和等差、等比数列求和公式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等差等比数列的性质，充分利用列项法求数列的和，本题难度一般．