Question

已知函数．

   （1）讨论的单调性；

   （2）设，证明：当时，；

   （3）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x₀，证明：（x₀）＜0．（本题满分14分）

 

Answer 1

【答案】

（1）若单调增加.

   若，单调增加，在单调减少. 

（2）见解析。

【解析】

试题分析：解：（1）…………………………………………1分

  …………………………2分

   （i）若单调增加.…………………3分

   （ii）若

且当

所以单调增加，在单调减少.  ……………………5分

 （2）设函数则

                                    …………………………………7分

当时，，所以单调递增，

故当，   ……………………………9分

（3）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，

故，从而的最大值为

不妨设

由（II）得

从而

由（I）知，   …………………………………………………14分

考点：本题考查利用导数求函数的单调性、综合分析和解决问题的能力以及分类讨论的思想方法。

点评：解答本题易出现以下失误：①忘记求函数的定义域；②想不到分类讨论，从而在判断函数的单调性时出现错误。当求函数的单调性时，如果无法判断导函数的符号，自然而然的就应该想到分类讨论，为了避免错误的发生，在平常做题时就要养成分析思路的习惯。